Новые плагины Joomla на web-disign.ru.

Автор статьи — Мокрищева Ирина Николаевна

Факультатив по математике «Математика в образах» для 10 классов. Занятие «Свойства функций»

Для факультатива по математике в 10 классе я разработала программу “Математика в образах”.
Математические формулы – это удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи и методы можно описать, используя привычные и наглядные образы из окружающей среды.
Следуя этому принципу, основные понятия теории множеств, числовых рядов, дифференциального и интегрального исчислений и других разделов математике излагаются в доступной и увлекательной форме.

Занятие «Свойства функций»

«Дальше кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

“Пересев хуже недосева”, — издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все догори ведут только вниз, куда ни шагни.

В примере с урожаем дело обстоит точно так же, как в той застольной ситуации, которую описывает пословица “Недосол на столе – пересол на спине”. Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмешь. А где – то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейшей щепотью, соли больше или меньше – и дегустатор с утонченным вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (… тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

Сходное свойство иллюстрирует и пословица “ Каши маслом не испортишь”. Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и на прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.
Чувствуете разницу между дровами и кашей? Между монотонными возрастанием и монотонным неубыванием?

Возрастание – это только вверх. Неубывание – это либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание – частный случай неубывания. Например, всюду постоянная функция (константа) принадлежит к числу неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области определения не возроствает.
Есть у максимума антипод – минимум. Минимум – это как бы дно впадины, из которой, куда ни шагни, все дороги ведут только вверх.

Правда, если шагать все дальше, возрастание где – то может смениться и спадом. Про минимум говорят тогда, что он локальный. Звание абсолютного минимум получает лишь тогда, когда это наименьшее значение функции для своей области определения. Если на всем ее протяжении локальных минимумов несколько то абсолютный нужно еще поискать. Может, кстати, оказаться, что функция принимает наименьшее значение в граничной точке области определения. (Все сказанное легко перефразируется по отношению к наибольшему значению, абсолютному и локальным максимумам.)

В семье элементарных функций, большинство составляют функции, либо всюду возрастающие, либо всюду убывающие. Такое преобладание отнюдь не характерно для всего огромного мира функциональных зависимостей. На практике гораздо чаще приходится иметь дело с такими представителями этого мира, которые наделены обоими качествами: местами они возрастания стыкуются в точках максимумов и минимумов. Подобное можно увидеть у параболы или синусоиды. Проследите эти графики слева направо, от меньших аргументов к большим: в точке минимума спад сменяется ростом, в точке максимума – наоборот. Общая стыкующая роль максимумов и минимумов подчеркивается их обобщающим названием “экстремум”. Как под словом “ребенок” подразумевается либо мальчик, либо девочка, так понятие “экстремум” распадается на “максимум” и “минимум”.,br> “Не круто начинай, круто кончай”. Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включенной в правилах НОТ. Тем более что за ней так и видится графическое выражение, к чему так склонны теоретики научной организации труда. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На ней тоже есть своя пословица:”Горяч на почине, да скоро остыл.”

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Наклон одной кривой постоянно увеличивается. Рост функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутой.
Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью.

Если вам хочется получше уяснить различие между выпуклостью и вогнутостью, сравните график роста человека с графиком роста населения Земли. Здесь опять-таки и та и другая функции возрастающие. Но рост человека со временем замедляется: достигнув зрелого возраста, человек уже не растет. Население земного шара, напротив, с течением времени растет все быстрее и быстрее. В первом случае мы говорим о выпуклости во втором – о вогнутости.

Психологи советуют: если вам нужно запомнить большой оббьем информации (скажем, большой текст), вообразите себя прогуливающимся по хорошо знакомой улице и мысленно привязывайте отдельные куски текста к подъездам домов, афишным тумбам, киоскам… Когда потребуется воспроизвести заложенное в память, нужно вновь мысленно отправиться на прогулку по той же улице и считывать фразу за фразой с подъездов, заборов, киосков…

Чтобы понадежнее уложить в память эту информацию, давайте воспользуемся советом психологов.
Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из пункта А в пункт Б. Будем внимательно приглядываться к рельефу дороги, связывая с его особенностями математические термины.

Мысленно представим высоту в каждой точке пути над некоторыми воображаемым горизонтальным уровнем как функцию расстояния, пройденного вдоль этой горизонтали. Промежуток от А до Б – область определенной функции.

Ровный участок дороги, естественно, ассоциируется с термином “константа”. Дорога идет под уклон – это монотонное убывание. Кончился спуск – и водитель включает газ, отмечает тем самым точку минимума. Дорожный знак указывает подъем, а у математика наготове свой термин – монотонная возрастание. Перевалили за гребень холма – пройдена точка максимума. И снова началось монотонное убывание, то есть спуск. На холмах дорога выпуклая, в ложбинах вогнута. Не отмеченные дорожными знаками стыки таких участков математик отметит про себя как точки перегиба.

Математические категории, о которых шла речь в этом описании, естественным образом делятся на две группы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум, минимум, перегиб), другие – в некоторых промежутках (выпуклость, вогнутость, убывание, возрастание).

Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль дороги, на графике достаточно наметить его сначала в окрестностях характерных точек, а затем, воспроизводя его поведение в промежутках, заполнить пробелы.

По таким правилам можно восстановить облик любой функции. Так удобнее рисовать даже те функции, которые выражены формулами – как говорят, заданны аналитически.

Результаты независимой оценки качества образовательной деятельности организации
Перейти

О нас

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №81

С первых лет своего существования ОУ развивалось как педагогическая среда, соединяющая в одних стенах и «физиков» и «лириков».

Соединение в стенах школы традиций качества обучения и воспитания, высокого профессионализма и огромного чувства ответственности с молодым талантом новых учителей создает необходимые условия для движения школы вперед.

Подробнее...

Copyright © 2014 МБОУ СОШ №81 г. Воронеж